引言

三体问题是研究三个可视为质点的物体在仅有万有引力作用下的运动规律的问题,是天体物理中的一个重要研究课题。三体问题分为一般三体问题和限制性三体问题。限制性三体问题是在三个天体中,有一个天体的质量为无限小,以至于它的存在不影响另外两个有限质量天体在相互作用下的运动。限制性三体问题按有限质量天体的运动轨迹,可以分为圆型限制性三体问题,椭圆型限制性三体问题,抛物线型限制性三体问题。一般三体问题可以转化为对3个二阶的常微分方程或者6个一阶的常微分方程的求解。因此,一般三体问题需要得到18个积分才能得到完全解。然而目前只能得到10个积分,三体问题还不能解决。因此,研究三体问题无法使用解析法,而只能使用近似法分析。常见的近似方法有三类:分析方法、定性方法、数值方法。

早在18世纪,欧拉和拉格朗日分别得出了限制性三体问题的直线解和三角形解。三体问题在天体力学中得到了很重要的应用,在太阳系中也是很常见的,尤其限制性三体问题在航空航天中的应用[6-8],例如,航天器在地球-月球的引力作用下的运动或者航天器在太阳-地球的引力作用下的运动,都可以看做是限制性三体问题;因此对限制性的研究是很有意义的。本文将直接讨论限制性三体问题的轨迹。

1 限制性三体问题的模型

1.1 N体问题的动力学方程

N体问题是将N(N>3)个天体简化成质点,研究这N个天体在万有引力作用下运动的天体模型。设这N个质点的质量分别为mi(i=1,2、、、,N),在某惯性坐标系下的位置为ri,且rij=ri-rj,为mi到mj的距离向量,则任一质点的运动方程为:

其中

方程(1),即为N体问题的动力学方程,若能求解得到方程(1)的解析解,N体问题即可以得到解决。然而,除了欧拉得到的十个经典积分外,N体问题并没有得到更多的经典积分。直到19世纪末,www.998799.com,庞加莱证明了对于N(N>2)体问题,不存在统一的第一积分。 也就是说即使是一般的三体问题,也不可能通过发现各种不变量最终降低问题的自由度, 把问题化简成简单可以解出来的问题。既然三体问题无法得到解析解,那么就可以借助计算机,得到天体的运动方程。本文章仅讨论限制性三体问题的轨迹,定性的对三体问题作一说明。

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